Vēstures gaitā cilvēkiem vienmēr ir bijusi nepieciešamība skaitīt, izteikt komercoperācijas un risināt citas problēmas, kas radušās matemātikas attīstībā. Mēs analizēsim dažādu kopu attīstību tā, lai katra no tām būtu ietverta nākamajā. Tomēr šo skaitļu attīstība var sakrist laikā.
Ar skaitīšanas metodēm mēs saprotam jebkuru algoritmu, kas tiek izmantots skaitīšanai, tas ir, kopas kardināla atrašanai. Skaitīšanas metožu ietvaros Combinatorics ir pelnījis īpašu attieksmi: variācijas, permutācijas un kombinācijas; lai gan šajā tēmā mēs to neapskatīsim, jo tie jau ir apskatīti iepriekš.
Šajā ierakstā mēs pētīsim vienu no svarīgākajiem atvasinājumu lietojumiem: pieskares līnijas un normālās līnijas vienādojumu; kā arī dažādas lietojumprogrammas, kuras mēs varam atrast. Mēs sāksim ar atvasinājuma interpretāciju un pēc tam trīs veidu vingrinājumus, ko mēs varam atrast:
IEVADS Jūls Anrī Puankarē bija 19. gadsimta franču matemātiķis, kurš izcēlās ne tikai ar savu matemātisko darbu, bet arī ar fiziķa, teorētiskā zinātnieka un filozofa darbu. Starp viņa svarīgākajiem darbiem fizikā izceļas tie, kas saistīti ar gaismas un elektromagnētisko viļņu teoriju.
Šodien mēs pētīsim vēl vienu funkciju īpašību (un/vai sēriju, kā redzēsim vēlāk). Mēs vispirms pētīsim, kad teiksim, ka funkcija ir ierobežota augšā un kad tā ir ierobežota zemāk, lai beidzot varētu noteikt, kad funkcija ir ierobežota. AUGŠĒJĀ IEROBEŽOTĀ FUNKCIJA Definīcija:
Ņemot vērā to, ka naturālie skaitļi ir bezgalīgi, ir jāmeklē vārdu, simbolu un noteikumu kopums, kas ļauj noteikt naturālos skaitļus un otrādi; vienlaikus spējot ar viņiem strādāt. Šajā ziņojumā mēs definēsim numerācijas sistēmas, to īpašības un dažas no visbiežāk izmantotajām sistēmām, piemēram, mūsu izmantoto:
Šodien mēs strādāsim ar izklaidējošu vingrinājumu, ko var veikt visos līmeņos, mainot tā sarežģītību: maģiskie kvadrāti. Maģiskie kvadrāti ir tabulas vai, labāk sakot, režģi ar veseliem skaitļiem tādā veidā, ka rindu un kolonnu skaitļu summa, kā arī galvenā diagonāle vienmēr ir viens un tas pats lielums, ko sauc par maģisko konstanti.
Algebriskā valoda ir veids, kā pārtulkot simbolos un skaitļos tos, ko mēs parasti uzskatām par īpašām izteiksmēm. Tādā veidā ar nezināmiem lielumiem var manipulēt ar viegli rakstāmiem simboliem, kas ļauj vienkāršot teorēmas , formulēt vienādojumus un nevienādojumus un izpētīt, kā atrisināt tos.
Vakar veicām ģeometrisko ķermeņu izpēti. Šodien mēs turpināsim šo pētījumu, bet šajā gadījumā par dažiem īpašiem ģeometriskiem ķermeņiem, apaļiem ķermeņiem. Apaļie ķermeņi ir ģeometriskas figūras, kurām ir vismaz viena izliekta seja. Tos sauc arī par revolūcijas ķermeņiem, jo tie visi tiek iegūti, pagriežot figūru ap asi.
Mēs jau zinām, kā veikt izlases lieluma izpēti atkarībā no attiecīgā veida, esam redzējuši, kā izveidot biežuma tabulu un kā aprēķināt pozīcijas un izkliedes mērījumus. Šodien mēs koncentrēsimies uz dažādiem veidiem, kā mums ir jāattēlo biežuma tabulās savāktie dati, kas būs atkarīgi no mainīgā veida, ar kuru mēs strādājam.
Daļa jeb salauzta ir kaut kā sadalīšana daļās. Ja kā piemēru ņemam daļu 2/4, tas tiek nolasīts kā divas ceturtdaļas, un tas norāda divas daļas no četrām kopējām daļām. Mēs varam redzēt, ka tas, kas piešķir šai daļai nosaukumu, ir skaitlis, zem kura mēs saucam saucēju, jo mēs "
Matemātikas jomā daļskaitlis jeb daļdaļa ir kaut kā sadalīšana daļās. Ja kā piemēru ņemam daļu ¾, tas tiek nolasīts kā trīs ceturtdaļas, un tas norāda trīs daļas no četrām summām. Šeit mēs redzam, ka tas, kas piešķir šai daļai nosaukumu, ir apakšējais skaitlis, ko mēs saucam par saucēju, jo mēs saucam daļu par "
Pēc garās, ļoti garās vasaras ir jāatgriežas rutīnā. Mēs atskatāmies uz matemātiku un šodien mums ir jāpēta ģeometrisko ķermeņu raksturlielumi, tas ir, skaldņu skaits, virsotnes, simetrijas asis utt. Vispirms sāksim ar kubu: CUBE: 2. Figūras veids:
Ar kombinatorisko analīzi mēs atsaucamies uz to algebras daļu, kas nodarbojas ar to grupu izpēti, kuras veidojas ar dotajiem elementiem, kas atšķiras viens no otra, pēc katrā grupā iekļauto elementu skaita, ar elementu veidu un to izvietojuma secībā.
Kā mēs jau zinām, kombinatorika ir tā algebras daļa, kas nodarbojas ar to grupu izpēti, kuras var veidot ar noteiktiem elementiem, nošķirot elementu skaitu, veidu un secību. Izveidotās grupas var būt variācijas, permutācijas vai kombinācijas.
Radiācija ir definēta kā potenciācijas apgrieztā darbība. Jauda ir matemātiska izteiksme, kas ietver divus nosauktus terminus: bāzi a un eksponentu n. Tas ir rakstīts šādi: Izlasa kā “a paaugstināts līdz n” Lai labāk izprastu norēķinu definīciju, pieņemsim, ka mums tiek dots skaitlis a un tiek lūgts aprēķināt citu, tā, ka, reizinot ar skaitli b reizes, mēs iegūstam skaitli a.
Kombinatorika ir matemātikas nozare, kas nodarbojas ar noteiktu objektu kopu izpēti, kas atbilst noteiktiem kritērijiem, un kas īpaši nodarbojas ar objektu skaitīšanu šādās kopās. Citiem vārdiem sakot, tā ir algebras daļa, kas ir atbildīga par izveidoto grupu izpēti, nošķirot starp tām elementu skaitu, kas veido katru grupu, šo elementu veidu un secību.
Kad ir apkopoti paraugdati, kurus mēs gatavojamies pētīt, ir nepieciešams tos sagrupēt, sakārtojot tos tabulas veidā, šī tabula saucas frekvenču sadalījums vaifrekvenču tabula. Šajā sadaļā mēs koncentrēsimies uz viendimensiju gadījuma lielumu biežuma tabulām (divdimensiju gadījuma lielumus pētīsim vēlāk).
Sauksim kombinētās darbības tās, kurās atrisinās vairākas aritmētiskās darbības. Lai iegūtu pareizu rezultātu, ir jāievēro daži noteikumi un jāņem vērā prioritāte starp darbībām. Pirmkārt, pašreizējie termini ir jāatdala, lai vēlāk varētu atrisināt katru no tiem.
DEFINĪCIJA Lai f ir nepārtraukta funkcija, kas definēta domēnā A, funkcijas atvasinājums no f ir definēts kopas A punktā a un tiek apzīmēts ar f´(a), kad nākamā robežvērtība: Ja saucam h=x-a, definīciju varam uzrakstīt arī šādi: Ja vienreiz ir aprēķināta atvasinājuma funkcija, to savukārt var atvasināt vēlreiz, šo funkciju sauc par otrais atvasinājums un apzīmē ar f´´.
trigonometriskās identitātes ir vienādības, kas ietver trigonometriskās funkcijas. Šīs identitātes vienmēr ir noderīgas, ja mums ir jāvienkāršo izteiksmes, kurās ir iekļautas trigonometriskās funkcijas, neatkarīgi no tā, kādas vērtības ir piešķirtas leņķiem, kuriem šīs attiecības ir definētas.
Lai veiktu statistisku izpēti par raksturlielumu, kuru mēs vēlamies izpētīt noteiktā populācijā, ir jāanalizē minētās populācijas izlase, no kuras mēs varam iegūt konkrētus skaitļus, kas ļauj analizēt savākto dati. Šim nolūkam mēs izmantosim biežuma tabulu, kas mums jāsagatavo iepriekš.
Mēs pētīsim jaunu matemātiskās analīzes koncepciju: salikto funkciju. Saliktā funkcija ir funkcija, ko veido divu funkciju sastāvs, t.i., funkcija, kas iegūta, vispirms pielietojot funkciju x un pēc tam šim rezultātam piemērojot jaunu funkciju.
Šodienas rakstā mēs atgriežamies pie statistikas nozares, lai runātu par vienu no svarīgākajiem diskrētajiem sadalījumiem: Puasona sadalījumu. Šo sadalījumu izmanto situācijās, kad vēlaties noteikt noteikta veida notikumu skaitu, kas notiek noteiktā telpā vai laika intervālā.
Šodien mēs pētīsim vienu no trim slavenākajām senatnes problēmām: apļa kvadrātošana,patiesībā to uzskata par neiespējamu problēmu, un beigās 19. gadsimta matemātiķis Ferdinands Lindemans parādīja, ka problēma nav atrisināma skaitļa pi pārpasaulīgā rakstura dēļ.
Šodienas rakstā mēs pētīsim kvadrātisko funkciju attēlojumu, tas ir, otrās pakāpes vienādojumus. Paturot prātā, ka otrās pakāpes vienādojumu grafiki atbilst parabolām, šajā ierakstā mēs pētīsim tiem raksturīgos elementus. PERFORMANCE Sāksim ar pirmajiem soļiem, kurus ņemsim vērā, lai veiktu kvadrātiskās funkcijas attēlojumu, kas, kā zināms, ir šādā formā:
Pēc tam, kad ir redzamas divu apļu relatīvās pozīcijas, šodien mēs pētīsim apļa leņķus. Centrālais leņķis: Tas ir leņķis, kura virsotne atrodas apkārtmēra centrā, tas ir, leņķis, ko nosaka divi stari, kuru izcelsme ir centrā, un tāpēc tie ir apkārtmēra rādiusi.
Ne viss matemātikā ir skaitļi, teorēmas, pierādījumi, aprēķini… un garš u.c. bezgalīgas lietas, kas izklausās tikpat garlaicīgas (lai gan man tās nav). Šodien mēs atklāsim kāda izcila persiešu matemātiķa, kurš dzimis 11. gadsimtā, literāro pusi:
Kad esam redzējuši pastāvošās metodes, lai varētu atrisināt lineāro vienādojumu sistēmas, mēs arī pētīsim kā atrisināt dažas nelineārās sistēmas, izmantojot šīs metodes. Ir ļoti svarīgi izvēlēties pareizo metodi, pretējā gadījumā tās izšķirtspēja var būt ļoti smaga, sarežģīta un tāpēc viegli kļūdīties.
Iepriekšējās reizēs mēs esam pētījuši dažas apļa īpašības, piemēram, saskares punktus, tas ir, apļa un līnijas relatīvo stāvokli. Bet tagad ir pienācis laiks vairāk izpētīt apļa ģeometriju. Sākumā mēs redzēsim dažas iepriekšējās formālas definīcijas:
Šodien mēs pētīsim dažādas metodes lineāru vienādojumu sistēmu risināšanai ar diviem nezināmiem. Lineāro vienādojumu sistēmas ir šādā formā: kur a, b, c, a´, b´un c ir reāli skaitļi. Lai atrisinātu šāda veida vienādojumu sistēmu, tas ir, atrastu x un y vērtību, kas apmierina abus vienādojumus;
Kad mēs esam redzējuši salikto funkciju, mēs pētīsim arī apgriezto funkciju. Tā kā mēs to jau iepriekš minējām salikto funkciju īpašībās. Šajā gadījumā mēs pētīsim apgrieztās funkcijas iegūšanas procesu, kā arī redzēsim dažus no svarīgākajiem inverso funkciju piemēriem un to attēlojumu.
Galvenais matemātiķis, kas tiek uzskatīts par kopu teorijas priekšteci, ir Džordžs Kantors, vācu matemātiķis, kurš dzīvoja no 1845. līdz 1918. gadam. Kopu teorija ir matemātikas nozare, kas, kā norāda tās nosaukums, pēta kopu īpašības. Komplekts, pēc Kantora vārdiem, ir objektu kopums, kas ir skaidri noteikti un diferencēti gan tos apcerot, gan mūsu domāšanā, šī priekšmetu kopa veido veselumu.
Mēs iedziļināsimies skaitļu teorijā, iepazīstinot ar jaunu koncepciju, kas tajā pašā laikā ir labi zināma visiem: pirmāskaitļi. Mēs nezinām precīzu gadu, kurā pirmskaitļi parādījās, taču šķiet, ka pirms vairāk nekā 20 000 gadu (kas tiek teikts drīz) viņi ar tiem strādāja vai vismaz zināja, jo kaulā atrastas pēdas.
Turpinām darbu pie skaitļu teorijas, šodien ir kārta Diofantīna vienādojumiem , kuri, kā norāda to nosaukums, ir saistīti ar Diofants, sengrieķu matemātiķis, kura darbam bija liela nozīme un ietekme uz nākamajām paaudzēm. Diofants aplūkotās problēmas attiecās uz tīri skaitliskiem aspektiem, kuros iejaucas veselu skaitļu īpašības.
Kā jau minējām iepriekšējos rakstos, viens no svarīgākajiem lietojumiem matemātikā ir optimizācijas uzdevumu risināšana. Bet ko mēs saprotam ar optimizācijas problēmām? Kā mēs varam tās atrisināt? Neuztraucieties, jo šīs un citas jūsu bažas tiks atrisinātas, ja turpināsiet lasīt.
Mēs jau neskaitāmas reizes esam strādājuši ar matricām un patiesībā esam runājuši arī par matricas rangu; bet ko mēs saprotam ar matricas rangu? Un kā mēs to varam aprēķināt? Uz šiem jautājumiem mēs atbildēsim šajā ziņā. Sāksim ar definīciju, un pēc tam apskatīsim divas metodes matricas ranga noteikšanai:
lineārā programmēšana ir metode optimizācijas problēmu risināšanai, uz kurām attiecas virkne nosacījumu vai ierobežojumu, ko nosaka virkne nevienādību. Lai veiktu šāda veida problēmas risinājumu, šie ierobežojumi ir jāattēlo plaknē, kas radīs iespējamo reģionu , tas ir, reģions, kurā tiks atrasts mūsu mērķa funkcijasrisinājums, kas ir funkcija, kas mums pēc vajadzības jāpalielina vai jāsamazina.
Viens no svarīgākajiem raksturlielumiem, veidojot funkcijas grafisko attēlojumu, ir izpētīt tās monotoniju, tas ir, kur mūsu funkcija palielinās un samazinās. Kā arī noteikt maksimumus un/vai minimumus, ja tādi būtu. Turklāt, ja mums joprojām ir šaubas par attēlojumu, mēs varam izpētīt arī tā izliekuma un locījuma punktus.
Thales of Miletus (630. g. p.m.ē. – 545. g. pmē.) bija viens no slavenākajiem grieķu filozofiem, taču izceļas ne tikai ar to, bet arī visi tā gudrie. laiks, izcēlās arī kā zinātnieks un matemātiķis, kur viņa ieguldījums ģeometrijā ir ļoti nozīmīgs, un viens no šiem ieguldījumiem ir tas, kuram mēs pievērsīsimies, - labi zināmā “Tāla teorēma”.